Soient \(y_1,y_2\in U^\perp\) et \(\lambda,\mu\in{\Bbb K}\)
On a : $$\begin{align}\sigma(x,\lambda y_1+\mu y_2)&=\lambda\sigma(x,y_1)+\mu\sigma(x,y_1)\\ &=0&&\text{ car }y_i\in U^\perp\text{ et }x\in U\end{align}$$
Donc \(\lambda y_1+\mu y_2\in U^\perp\)

Première équivalence
\(x\in\ker\sigma\) si et seulement si $$\begin{align}&\forall y\in E,\qquad \sigma(x,y)=\sigma(y,x)=0\\ \iff&\forall y\in E,\qquad x\perp y\\ \iff&\qquad\qquad \quad\;\,x\in E^\perp \end{align}$$

Deuxième équivalence

De plus, $$x\in E^\perp\implies\forall U\subseteq E,\forall y\in U,\qquad x\perp y\text{ donc }x\in U^\perp$$ si \(x\in\bigcap_{U\subseteq E}U^\perp\), alors pour \(U=E\), on a \(x\in E^\perp\)

Introduction d'un lemme
Lemme : pour tout sous-espace \(U\) de \(E\), $$(q(U))^o=U^\perp$$

Preuve du lemme via équivalences successives
Preuve du lemme : $$\begin{align} x\in(q(U))^o&\iff\forall\alpha\in q(U)\subset E^*,\alpha(x)=0\text{ et }\alpha=\eta_y,y\in U\\ &\iff\forall y\in U,\eta_y(x)=\sigma(x,y)=0\\ &\iff x\in U^\perp\end{align}$$

Déduire une égalité de dimensions du lemme
D'après le lemme, on a donc $$\operatorname{dim} U^\perp=\operatorname{dim}(q(U)^o)$$

Appliquer la formule de la dimension des annulateurs
Et, d'après la relation \(\operatorname{dim} U^o=n-\operatorname{dim} U\)
$$=\operatorname{dim} E^*-\operatorname{dim}(q(U))$$

Appliquer le théorème du rang à \(q\rvert_U\)
On a $$\begin{align}\operatorname{dim}(E^*)-\operatorname{dim}(q(U))&=\operatorname{dim} E-\operatorname{dim}(\operatorname{Im} q\rvert_U)\\ &=\operatorname{dim} E-\left( \operatorname{dim} U-\operatorname{dim}\ker(q\rvert_U)\right)\end{align}$$

Montrer \(\ker(q\rvert_U)=\ker\sigma\cap U\) via des équivalences successives

On a \(\operatorname{dim} U^\perp+\operatorname{dim} U=\operatorname{dim} E+\operatorname{dim}\ker(q\rvert_U)\)
On a \(\ker(q\rvert_U)=\ker\sigma\cap U\) car $$\begin{align} x\in\ker(q\rvert_U)&\iff q\rvert_U(x)=0\\ &\iff\forall y\in U, q(y)(x)=\eta_y=\sigma(x,y)=0,\quad x\in E\\ &\iff y\in\ker \sigma\text{ et }y\in U\end{align}$$ ce qui finit notre démonstration

(Annulateur (Dimension), Théorème du rang)

Plan de la démonstration
Montrons que \(U+\ker\sigma\subseteq U^{\perp\perp}\) est vraie et ensuite que leurs dimensions sont les mêmes

Mq \(\ker\sigma\subseteq U^{\perp\perp}\) par équivalences successives
On a \(\ker\sigma\subseteq U^{\perp\perp}\) car $$\begin{align} x\in\ker\sigma&\iff x\in E^\perp\\ &\iff x\in(U^\perp)^\perp\quad\text{ car }\; U^\perp\subset E\end{align}$$

Mq \(U\subset U^{\perp\perp}\) via symétrie de l'orthogonalité
On a \(U\subset U^{\perp\perp}\) car si \(x\in U\), alors \(\forall y\in U^\perp\), on a $$\sigma(x,y)=0=\sigma(y,x)\quad\text{ donc }\quad x\perp y\iff y\perp x$$

Réécriture comme un ensemble
Donc $$\ker\sigma+ U=\{v+y\mid v\in\ker\sigma,u\in U\}\subseteq U^{\perp\perp}$$

Remplacer dans une relation
On a \({{\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} U^\perp}}={{\operatorname{dim} E+\operatorname{dim}(\ker\sigma\cap U)}}\)
En remplaçant \(U\) par \(U^\perp\) dans la relation précédente, on a : $$\operatorname{dim} U^{\perp\perp}=\operatorname{dim} E-\operatorname{dim} U^\perp+\operatorname{dim}(\ker\sigma\cap U^\perp)$$

Soustraire pour montrer que les équations sont les mêmes

Et en soustrayant les deux équations : $$\operatorname{dim} U^{\perp\perp}\cancel{-\operatorname{dim} U^\perp}=\cancel{-\operatorname{dim} U^\perp}+\operatorname{dim} U+\operatorname{dim}(\underbrace{\ker\sigma\cap U^\perp}_{=\ker\sigma})-\operatorname{dim}(\ker\sigma\cap U)$$ et donc : $$\operatorname{dim} U^{\perp\perp}=\operatorname{dim}(U+\ker\sigma)$$
Cela conclut la démonstration

(Orthogonalité)